Hypergeometric-Series-Rechner

原理：高斯超几何级数 ₂F₁(a,b;c;z) 的系数由 Pochhammer 符号 (a)ₖ = a(a+1)⋯(a+k−1) 构成：(a)ₖ(b)ₖ/((c)ₖk!)·zᵏ。它是绝大多数初等与特殊函数的「母函数」：₂F₁(1,1;2;z) = −ln(1−z)/z、₂F₁(½,1;3/2;z) = artanh(√z)/√z，二项级数与 arctan 级数都是它的特例；高斯求值公式给出 z = 1 处的封闭值。

步骤：输入三个参数 a、b、c 与自变量 z（|z| < 1 内按定义收敛）；读取级数值；若参数是 (1,1;2) 自动给出对数闭式对照；c 为 0 或负整数时提示发散。

示例：₂F₁(1,1;2;0.5) = 1.38629436112，恰为 −ln(0.5)/0.5 = 2 ln2；₂F₁(½,1;3/2;0.25) = 1.098612288668，恰为 artanh(0.5)/0.5 = ln3；₂F₁(1,1;2;0.1) = 1.053605156578 对照 −ln(0.9)/0.1 = 1.053605156578。

注意事项：c 不得为 0 或负整数（Pochhammer 分母为零）；|z| = 1 处收敛性依 Re(c−a−b) 讨论，z = 1 时高斯公式要求 Re(c−a−b) > 0；z 接近 1 时级数收敛显著变慢；a 或 b 为非正整数时级数多项式化（截断），值仍有限。

相关：二项式定理工具是 α 非负整数时的特例；Beta 函数与 Gamma 函数工具给出高斯求值公式所需的原材料；整数分拆工具展示生成函数思想。