Hypotrochoid-Rechner

原理：半径 r 的圆沿半径 R 的固定圆内侧无滑动滚动，圆内距圆心 d 的描点轨迹为长短幅圆内旋轮线：x = (R−r)cos t + d·cos((R−r)t/r)，y = (R−r)sin t − d·sin((R−r)t/r)。闭合周期为 2πr/gcd(R,r)。经典特例：R = 2r 时轨迹是椭圆（半轴 r+d 与 r−d）——这正是椭圆规（卡丹圆盘）原理；R = 4r、d = r 为星形线（astroid，四个尖点），面积 6πr²；d = r 时一般退化为内摆线。面积由格林公式数值积分。

步骤：输入 R、r、d 与参数 t，得到坐标、周期、包围面积与形态判定。

示例：R = 2、r = 1、d = 0.5 为椭圆，t = 0 时坐标 = (1.500000000000, 0.000000000000)；R = 4、r = 1、d = 1 为星形线，尖点 t = 0 处坐标 = (4.000000000000, 0.000000000000)，面积 = 18.849555921539（理论 6π ≈ 18.849555921539）；R = 5、r = 3、d = 5 面积 = -119.380520836412。

注意事项：R > r 需严格成立（滚动圆必须在固定圆内部）；d > r 时描点在滚动圆外，曲线出现环圈。椭圆退化要求 R = 2r 精确成立，浮点输入建议用整数半径。

相关：星形线面积 18.849555921539；椭圆退化 t = 0 坐标 1.500000000000；周期 18.849555921539。