Jacobian-Determinant-Rechner

原理：可微变换 T: (u, v) ↦ (x, y) 在每点的局部线性化由雅可比矩阵 [[∂x/∂u, ∂x/∂v], [∂y/∂u, ∂y/∂v]] 刻画，其行列式（雅可比行列式）就是该点处微小面积元的缩放因子——重积分换元公式 ∫∫ f(x, y) dx dy = ∫∫ f(T(u, v))·|J| du dv 的 |J| 正源于此。极坐标变换 x = r·cosθ、y = r·sinθ 的雅可比行列式 = r，这解释了圆面积积分中出现 r 因子：∫∫ r dr dθ。线性变换下雅可比矩阵就是矩阵本身，det = ad − bc；det = 0 表示变换退化（面积被压扁），换元失效。

步骤：输入二阶矩阵的四个元素，输出有向行列式与面积缩放因子；同时以 16 × 64 复合高斯求积数值复算单位圆盘面积（应为 π）与 ∫∫(x² + y²)dA（应为 π/2），交叉验证 r 因子换元。

示例：矩阵 [[2, 0], [1, 3]] 的 det = 6——单位正方形被拉成底 3 高 2 的平行四边形，面积恰放大 6 倍；极坐标 J(3, π/4) = 3.000000000000；单位圆盘数值面积 = 3.141592653590；∫∫(x² + y²)dA = 1.570796326795。

注意事项：行列式为负表示定向翻转（镜像），面积缩放取绝对值；四元输入需全为有限数；两个数值校验行的理论值分别是 π 与 π/2，误差应小于 1e-9；三阶以上行列式请用矩阵行列式工具（余子式展开或 LU 分解）。

相关：矩阵行列式工具给出一般 n 阶行列式的算法；二重积分换元在极坐标与柱面坐标中的实现都依赖本工具的 |J|；质心工具的面积加权同样源自该缩放因子。