Lituus-Rechner

原理

利图阿斯螺线（lituus，拉丁语「弯号角」）由罗杰·科茨 1722 年研究，极坐标方程 r² = a²/θ，即极径与角度平方根成反比。它以极轴为渐近线：θ 越大螺线越贴近原点附近绕转，θ → 0⁺ 时 r → ∞ 沿极轴展开。

极径扫掠面积 A = (a²/2)·ln(θ2/θ1)——对数增长的面积意味着每一圈面积按角度比累加。弧长 s = ∫√(r² + (dr/dθ)²)dθ = a∫√(θ⁻¹ + θ⁻³/4)dθ，无初等原函数，本工具用 GL16 复合求积计算。

使用步骤

① 输入参数 a；② 给出扫掠角区间 θ1、θ2 得面积与弧长；③ 填参数角 θ 求该点极径与直角坐标。

计算示例

a = 1 时：θ = 4 处 r = 1/√4 = 0.5，θ = 2π 处 r = 1/√(2π) = 0.398942280401（恰为标准正态密度峰值 1/√(2π)）；θ 从 π/2 扫到 2π 的面积 = 0.5·ln4 = 0.693147180560。

注意事项

θ 必须为正：θ = 0 处曲线发散到无穷，弧长从 0 起积也发散（螺线无限长）。钟表匠与声学中曾用它描述渐弱回声的轨迹；与等角螺线（r = ae^(bθ)，角度等比）不同，利图阿斯是「等比角度、开方极径」。

常见问题

Q：它和阿基米德螺线什么关系？A：阿基米德螺线 r = aθ 极径线性增长，利图阿斯 r = a/√θ 按平方根衰减，绕向相反的渐近行为——一个向外匀速展开、一个向内渐收于极轴。

Q：θ 取负角会怎样？A：r² = a²/θ 要求 θ 同号才有实极径，负 θ 的分支与正 θ 分支关于极轴对称，通常只研究 θ > 0 一支。