Semiperfect-Numbers-Rechner

原理：若 n 的某些**真因子**（不含 n）之和恰好等于 n，n 就是半完全数（semiperfect / pseudoperfect）。例如 12 = 1+2+3+6、20 = 1+4+5+10。判定用子集和动态规划：真因子作为物品、容量 n，可达和集合从 0 出发逐步扩展，命中 n 即成功。回溯分解则用带后缀和剪枝的 DFS，从大到小选取，返回一个具体的子集。完美数自动是半完全的（全部真因子之和 = n）；所有倍数关系还保证：若 n 半完全则 k·n（k ≥ n 的倍数规则）也半完全——半完全数在乘法下封闭。

步骤：输入 n（上限 100000），输出真因子、DP 判定与一个回溯找到的子集分解式。

示例：12 = 2 + 4 + 6；20 = 1 + 4 + 5 + 10；完美数 6 = 1 + 2 + 3；而 70 的真因子 1、2、5、7、10、14、35 无论怎样选取都凑不出 70——这正是它成为最小怪异数的原因。

注意事项：半完全数既包括所有完美数，也包括绝大多数盈数；一个数可能有多种子集分解（工具只返回一个）；回溯搜索在最坏情况仍受指数级子集空间约束，但后缀和剪枝使 100000 以内瞬时完成；判定 DP 与回溯两条路径结果必须一致，本工具同时输出作为交叉验证。

相关：怪异数工具专攻「盈而不半完全」的反例；盈数工具给出三分法背景；实用数工具研究「能凑出所有更小数」的更强条件；子集和问题本身在组合优化中是经典 NP 完全问题。