Witch-Of-Agnesi-Rechner

原理

箕舌线（witch of Agnesi）由圆的构造生成：取直径 2a 的圆，从顶点作射线交圆与切线 y = 2a，交点纵坐标的中点轨迹即 y = 8a³/(x² + 4a²)。曲线与渐近线 y = 0 之间的面积用标准积分 ∫8a³/(x²+4a²)dx = 4πa²（arctan 原函数取全实轴极限）。

曲线是钟形、处处光滑，峰值 2a 在 x = 0，拐点在 x = ±2a/√3（y = 3a/2）。它是概率论中 Cauchy 分布形态的确定性雏形——Maria Agnesi 1748 年在《分析基础》中系统研究，得名于意大利语 versiera 的误译（avversiera → witch）。

使用步骤

① 输入参数 a 与想取的横坐标 x；② 计算面积与 y(x)；③ 需要归一化的钟形剖面（如光学 PSF 教学演示）时按 1/(8πa³)·y 使用。

计算示例

a = 1：A = 12.566370614359（= 4π = 12.566370614359）；y(1) = 1.600000000000；峰值 y(0) = 2；拐点 y = 1.5 在 x = ±1.154700538379。数值积分（GL16 + 解析尾项）与 4π 一致到 1e−9。

注意事项

本曲线与柯西分布密度 f(x) = 1/(π(1+x²)) 仅差尺度因子：a = 1/2 的箕舌线恰是标准 Cauchy 密度的 4 倍高度版本。 tails 极重——面积收得很慢，数值积分必须配解析尾项。

常见问题

Q：为什么叫「女巫」？A：翻译事故——Agnesi 用的意大利语 la versiera（转动之线）被剑桥译者读成 l'avversiera（魔女）。数学上与巫术无关。

Q：面积 4πa² 怎么记？A：∫dx/(x²+c²) = (1/c)arctan(x/c) 取 c = 2a，全轴极限给 π/(2a)，乘 8a³ 得 4πa²——峰值 2a、宽 ~4a、面积近圆面积 π(2a)² 的量级。