Zeckendorf-Representation-Rechner

原理：Zeckendorf 定理断言，每个正整数都能唯一地写成若干个互不相邻的斐波那契数之和，这里斐波那契数列取 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …（F2 = 1, F3 = 2，每个数恰好出现一次）。构造用贪心法：每次减去不超过剩余量的最大斐波那契数。贪心的正确性由「n − F_k < F_(k−1)」保证（否则 n ≥ F_(k+1)），因此下一项至多是 F_(k−2)，天然不相邻。该表示与黄金比例的 Beatty 序列、Wythoff 数对存在深刻联系：Zeckendorf 表示的进位规则恰好模拟斐波那契递推 F_(k+1) = F_k + F_(k−1)。

步骤：输入正整数 n，输出其唯一 Zeckendorf 表示、项数、最大项与下一个斐波那契数，并校验任意两项在斐波那契序列中的下标差至少为 2（即互不相邻）。

示例：100 = 89 + 8 + 3（89 与 8、3 两两不相邻）；1000 = 987 + 13；12 = 8 + 3 + 1；4 = 3 + 1（跳过 2，因为 3 与 2 相邻不能同时取）。

注意事项：n 需为 1 到 10^15 之间的整数（超出范围会被拒绝）；表示式按从大到小排列；相邻斐波那契数不可能同时出现——这正是唯一性的来源。若把表示看成「斐波那契进制」的 0/1 串，则该串不含相邻的 1。

相关：黄金比例 φ = (1 + √5)/2 是斐波那契数列比值的极限；连分数工具可展开 φ 的纯 1 连分数；贝蒂数列 ⌊nφ⌋ 与 Zeckendorf 表示共享贪心结构。