Zeta-Function-Rechner

原理：ζ(s) = Σ k^(−s) 在 s > 1 收敛，ζ(2) = π²/6 ≈ 1.6449、ζ(3) ≈ 1.2021（阿佩里常数，已证明无理）、ζ(4) = π⁴/90。s ≤ 0 与 0 < s < 1 的值由函数方程 ζ(s) = 2^s·π^(s−1)·sin(πs/2)·Γ(1−s)·ζ(1−s) 给出：ζ(0) = −1/2，负奇数处 ζ(−1) = −1/12、ζ(−3) = 1/120（与伯努利数相关），负偶数处全为 0（平凡零点）。

步骤：输入实数 s。s > 1 用欧拉–麦克劳林公式（前 59 项 + 8 阶伯努利尾部修正），s < 1 经函数方程折返后同法求值，兰道变换使用 Lanczos 近似的 Γ 函数。

示例：ζ(2) = 1.644934066848；ζ(3) = 1.202056903160；ζ(4) = 1.082323233711；ζ(0.5) = -1.460354508810（临界线上的实值）；ζ(−1) = -0.083333333333（即 −1/12）；ζ(−2) = -2.373866e-18（平凡零点）。

注意事项：s = 1 是单极点，级数与函数方程都失效，本工具直接返回发散；负偶数是平凡零点，非平凡零点全部落在临界线 0 < Re s < 1 内——黎曼猜想断言它们都在 Re s = 1/2 上，这是千禧年七大难题之一；实数输入只覆盖实轴，临界线上的复数值需要复分析工具；s 很大时 ζ(s) → 1，12 位小数已无有效信息。

相关：调和数工具是 ζ(1) 发散的离散前奏；素数计数工具用 ζ 的素数联系（欧拉乘积公式）；伽马函数工具展开函数方程中的 Γ(1−s)；伯努利数工具给出 ζ(2n) 的闭式系数。