Apollonian Circle Calculator

原理

笛卡尔圆定理（Descartes circle theorem，1643）：四个两两相切的圆，其曲率 k = ±1/r（内凹外包圆取负号）满足 (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)。解出 k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁)，正号给内部小圆、负号给外面包围的公切圆。

反复以新圆替换旧圆即生成阿波罗尼奥斯垫圈（Apollonian gasket）——分形维数约 1.3057 的自相似圆堆积。该定理的 Soddy 1936 韵文版又名「Soddy 圆」。

使用步骤

① 输入三个两两相切圆的曲率（半径的倒数）；② 计算得到内切第四圆与外包圆的曲率/半径；③ 把新圆曲率与任三旧圆组合可继续迭代生成垫圈。

计算示例

k = (1, 2, 3)：k₄⁺ = 12.633249580711（r₄ = 0.079156197589），k₄⁻ = -0.633249580711（外包圆）。三等圆 k = (1, 1, 1)：k₄⁺ = 3 + 2√3 = 6.464101615138、k₄⁻ = 3 − 2√3 = -0.464101615138。

注意事项

曲率必须用 1/r 而不是半径本身。k₄⁻ 为负表示外包圆是内凹的（半径取绝对值）。定理要求四圆两两相切；若给定的三圆不相切，结果无几何意义。四圆互换位置结论不变（方程对称）。

常见问题

Q：直线怎么处理？A：直线是半径无穷大的圆，曲率 0。如两个等圆与一条公切线围出的缝隙：k = (1, 1, 0) → k₄ = 2 ± 2√2。

Q：能推广到球吗？A：能——五球版 Soddy–Gossett 定理 (Σkᵢ)² = 3Σkᵢ²（五维为 nΣkᵢ²），三维四球加一球同理。