Arithmetico Geometric Calculator

原理：算术几何级数 Σ(a + n·d)·r^n 是等差数列与等比数列逐项相乘的级数；用「S − rS」错位相减消去线性因子，得闭式 S = a/(1−r) + d·r/(1−r)^2，要求 |r| < 1。

步骤：① 输入 a、d、r；② 工具计算闭式值并用 60 项部分和验证；③ 差值即为截断误差量级。

示例：Σ n/2^n = 2（取 a = 0、d = 1）；Σ(1 + n)/2^n = 4；r = 1/4、a = 1、d = 2 时 S = 4/3 + 2·(1/4)/(9/16) = 4/3 + 8/9 = 20/9。

注意事项：|r| ≥ 1 时级数发散，公式失效；部分和与闭式在 n = 60 时的差异反映尾部贡献，r 越接近 1 需要更多项才能吻合；本模型是期望计算（如几何分布均值 1/p）的标准工具。

相关：几何级数工具处理纯等比情形；裂项相消（telescoping）是另一类可精确求和的级数；ζ 函数展示 r 由参数驱动的更复杂求和。