Astroid Calculator

原理

星形线（astroid）是半径 r 的圆在半径 R = 4r 的圆内侧滚动时，圆上定点的轨迹，属四尖内摆线。其直角坐标方程为 x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)，参数式为 x = a·cos³t、y = a·sin³t。

面积 A = (1/2)∮(x·dy − y·dx) = 3πa²/8；周长由 |v| = 3a·sin t·cos t 在四个象限积分得 L = 6a。生成圆滚完一圈需自转 4 圈，形成 4 个尖点。

使用步骤

① 输入生成圆半径 a（即星形线外接正方形的半宽）；② 点击计算得到面积、周长与曲率半径；③ 换 a 值可批量对比不同尺寸。

计算示例

a = 1 时：A = 3π/8 = 1.178097245096，L = 6 = 6.000000000000；顶点 (1, 0)、(0, 1) 等四处为尖点；t = π/4 时点为 (√2/4, √2/4) ≈ (0.353553, 0.353553)。

注意事项

面积公式中的 a 是「生成圆半径」= 星形线的外接半宽，不是内摆线里的大圆半径 R = 4a。渐屈线（曲率中心的轨迹）是与原曲线相似的放大 2 倍星形线——这是它别名「四尖内摆线」的经典性质。

常见问题

Q：与 198 批的 hypocycloid（内摆线）是什么关系？A：星形线正是 R = 4r 的内摆线特例，本工具聚焦星形线自身的面积、周长与光学应用（反射光沿切线方向聚成星芒）。

Q：面积为什么只有外接圆面积的 3/32π 倍？A：外接圆面积 πa²，星形线 A = 3πa²/8，恰好是圆的 3/8——尖点内凹「吃掉」了 5/8。