Beatty Sequences Calculator

原理：Beatty 定理（1926）：若 α、β 为正无理数且 1/α + 1/β = 1（即 β = α/(α−1)），则两个数列 ⌊nα⌋ 与 ⌊nβ⌋ 恰好无重叠、无遗漏地划分全体正整数——每个正整数在两列中出现且只出现一次。最著名的例子取 α = 黄金比 φ：φ² = φ + 1 使 β = φ²，于是 ⌊nφ⌋（下 Wythoff 数列）与 ⌊nφ²⌋（上 Wythoff 数列）分掉全体正整数，这正是 Wythoff 取子游戏的必胜策略基础。

步骤：输入 α 与项数 N，生成 A、B 两列的前 N 项；程序自动验证前 min(N,50) 项内两列并集无重叠覆盖 [1, ⌊Nα⌋]。

示例：α = φ = 1.618033988750 时 β = 2.618033988750，A 前 5 项 = 1, 3, 4, 6, 8，B 前 5 项 = 2, 5, 7, 10, 13，⌊10φ⌋ = 16；验证 1/φ + 1/φ² = 1.000000000000。取 α = √2 时 β = 3.414213562374（即 2 + √2）。

注意事项：α 必须是无理数且大于 1——整数 α 会使两列大量重叠；α 过于接近 1 时 β 巨大、验证区间内 B 项过少。浮点精度限制 N ≤ 500。

相关：黄金比 1.618033988750；β = 2.618033988750；⌊10φ⌋ = 16。