Binomial Series Calculator

原理：牛顿二项级数把二项式定理推广到任意实指数 α：(1 + x)^α = ∑binom(α,k)xᵏ，其中 binom(α,k) = α(α−1)⋯(α−k+1)/k!。当 |x| < 1 时级数收敛到 (1+x)^α；α 为非负整数时系数从 k = α+1 起全为 0，级数自动截断为普通二项式定理。

步骤：输入指数 α、展开点偏移 x 与截断项数 N；对照部分和与真值；读取前几项广义系数理解收敛速度与符号变化。

示例：α = 0.5、x = 0.25（即 √1.25）时前 6 项部分和 = 1.11803817749，真值 1.11803398875；α = −1、x = 0.5 时前 9 项和 = 0.66796875 逼近 1/(1.5) = 2/3；α = 2、x = 0.3 时级数在第 3 项后截断，部分和恰为 (1.3)² = 1.69。

注意事项：|x| ≥ 1 时级数一般发散（α 非负整数除外）；x 接近 ±1 时收敛急剧变慢，需要更多项；binom(α,k) 的符号随 α−k+1 因子变化可正可负；收敛半径由奇点 x = −1 决定为 1，该级数是泰勒级数的特例。

相关：二项式定理工具处理非负整数指数的精确展开；麦克劳林级数工具给出其他函数的展开；泰勒级数工具支持任意展开点；二项分布工具是组合学侧的应用。