Butterfly Curve Calculator

原理

蝴蝶曲线（butterfly curve）由 Temple Fay 1989 年提出：r = e^(sinθ) − 2cos4θ + sin⁵(θ/12)。三项分工明确——e^(sinθ) 给出躯体轮廓，2cos4θ 描出四重翅膀的褶皱，慢周期 sin⁵(θ/12) 让左右翅在 24π 内轻微不对称、姿态生动。

r 可为负（如 r(0) = −1，负极径把点映到对侧），因此完整「蝴蝶」需要 θ 走满 24π。总面积按极径扫掠 (1/2)∫r²dθ 在 0→24π 上 GL16 数值求积。

使用步骤

① 输入角度 θ（弧度）；② 点击计算得到极径、直角坐标与全轨迹面积；③ 对比 θ = 0、π/2、3π/2 体会 r 的正负翻转。

计算示例

r(0) = −1；r(π/2) = 0.718319715296；r(3π/2) = -1.623913296728；全轨迹扫掠面积 = 170.201332754526。

注意事项

θ 只走 0→2π 会得到「半只蝴蝶」——慢项 sin⁵(θ/12) 需要 24π 才完整演化，这是初学者最常见的画错原因。扫掠面积是「极径扫过总量」而非严格几何面积（r 变号时轨迹自交重叠），作图时应逐点连 r·(cosθ, sinθ)。

常见问题

Q：为什么翅膀会「呼吸」？A：sin⁵(θ/12) 的周期是 24π，它以五次幂把慢调制压成尖锐脉动，使上下两对翅的高度随 θ 缓慢变化——这正是蝴蝶曲线比纯 rose 曲线生动的原因。

Q：和玫瑰线什么关系？A：四重翅膀骨架来自 2cos4θ（k = 4 玫瑰线项），蝴蝶曲线 = 玫瑰线 × 指数包络 + 慢周期微扰，可视为玫瑰线的「有机化」推广。