Cardioid Calculator

原理

心形线（cardioid）r = a(1 + cosθ) 是圆 rolling 于等半径圆外时的外摆线特例，也是 limacon 蜗牛线 b = a 的临界形状。极坐标面积 A = (1/2)∫₀..2π a²(1+cosθ)²dθ = 3πa²/2，周长由 |v| = 2a·cos(θ/2) 积分得 8a。

θ = π 处 r = 0 形成尖点；θ = 0 处最远 ρ = 2a。极坐标方程在 θ∈[0, 2π) 单值，一条闭曲线。

使用步骤

① 输入标度 a 与想要取点的角度 θ（弧度）；② 计算得到面积、周长与该方向的极径、直角坐标；③ 用于绘制或校验心形天线、麦克风指向性图样。

计算示例

a = 1：A = 4.712388980385（恰为 3π/2），L = 8.000000000000；θ = 0.5 时 ρ = 1.877582561890、点 ≈ (1.647733714824, 0.900161031008)。a = 2 时 A = 6π = 18.849555921539。

注意事项

若你的心形线写成 r = a(1 − cosθ) 或 (1 + sinθ)，只是整体旋转/镜像，面积与周长公式不变。心形线也是 Mandelbrot 集的主心形边界（周期 1 主心形）。

常见问题

Q：为什么周长 8a 与直径 4a 只差 2 倍？A：心形线一周要绕尖点拐折，弧长集中在「鼓包」一侧，|v| = 2a|cos(θ/2)| 在 θ = 0 处最大 2a、θ = π 处为 0，积出 8a。

Q：面积与外摆线公式一致吗？A：一致。198 批 epicycloid 工具中 R = r 时 A = π(R+r)(R+2r) = 6πr²，对应此处 a（尖点标度）= 2r，即 6π(a/2)² = 3πa²/2。