Cissoid Of Diocles Calculator

原理

蔓叶线（cissoid of Diocles）由直径 2a 的圆及其切线产生：过顶点 O 作射线交圆于 Q、交切线于 R，取 OQ 距离在 OR 上得轨迹 P。方程 y² = x³/(2a−x)，参数式 x = 2at²/(1+t²)、y = 2at³/(1+t²)。

x = 2a 是竖直渐近线，曲线与渐近线之间的面积 = 3πa²/2（由 8∫sin⁴τ dτ 在 0→π/2 上积分换元即得）。斜率 dy/dx = 3t，顶点处切线竖直。

使用步骤

① 输入参数 a；② 输入横坐标 x（严格小于 2a）；③ 点击计算得到纵坐标、参数与面积。

计算示例

a = 1、x = 1 时：y = 1（点 (1,1)），t = 1；曲线与渐近线间面积 = 3π/2 = 4.712388980385；x → 2 时 y → ∞。

注意事项

方程对 y 取正负两支，上下对称。古希腊人发明它是为解决「立方倍积」问题：蔓叶线与渐近线围出的特定线段比恰含立方根，可用尺规化归为曲线交点。

常见问题

Q：cissoid 这个名字什么意思？A：希腊语「常春藤状」。「蔓叶线」泛指两条曲线间张成的轨迹族，Diocles 的这一条最著名，故以其名冠之。

Q：为什么它在数学史上有名？A：它是「化圆为方不可能」之前的著名尝试之一，牛顿在《广义算术》里专门分析过它的性质与倍立方应用。