Conchoid Of Nicomedes Calculator

原理

尼科米迪斯蚌线（conchoid）：过定点 O 的每条射线与定直线 y = a 交于 Q，在射线上取 P 使 |PQ| = b，P 的轨迹即蚌线。极坐标 r = a·secθ + b，参数式 x = a + b·cosθ、y = a·tanθ + b·sinθ。

b > a 时曲线自交成环：环的角域从 θ₀ = arccos(−a/b) 到 2π−θ₀，面积 = (1/2)∫r²dθ（GL16 数值）；b ≤ a 时无环、曲线单支。最左点在 (a−b, 0)。

使用步骤

① 输入 a（决定渐近线高度）与 b（偏移量）；② 点击计算；③ b > a 时额外给出 θ₀ 与环面积。

计算示例

a = 1、b = 2 时：θ₀ = 2π/3 = 2.094395102393，环面积 = 0.653009424656；最左点 x = −1；r 最大 3、最小 1。

注意事项

蚌线分上下两支关于 x 轴对称，θ ∈ (−π/2, π/2) 走右支、其余走左支。古希腊人用蚌线的上下支配对三等分任意角——这正是它被尼科米迪斯发明的初衷。

常见问题

Q：与 limaçon（蜗牛线）什么关系？A：二者都是「在某基线上加减定长」的蚌线构造：limaçon 对圆操作（r = a + b·cosθ），本工具对直线操作（r = a·secθ + b）；构造同源、基线不同。

Q：环面积有闭式吗？A：∫(a·secθ + b)²dθ 含 sec² 原函数 tanθ 与 sec 原函数 ln|secθ+tanθ|，在含 θ₀ 的边界上可整理为对数表达式；工具直接用 GL16 数值，任意参数稳定到 1e−11。