Deltoid Calculator

原理

三尖内摆线（deltoid，又称 Steiner 曲线）是半径 r 的小圆在半径 R = 3r 的大圆内侧滚动时圆上定点的轨迹，参数式 x = 2r·cos t + r·cos 2t、y = 2r·sin t − r·sin 2t，呈三个尖点的三角形弧。

速度模 |v| = 4r|sin(3t/2)|，在三个尖点处归零。面积由 shoelace/格林公式得 A = 2πr²，恰为外接圆面积的 2/3；周长 L = 16r。

使用步骤

① 输入生成圆半径 r；② 可选输入参数 t 求曲线上具体点；③ 点击计算得到面积、周长与坐标。

计算示例

r = 1 时：A = 2π = 6.283185307180，L = 16 = 16.000000000000；t = π/3 时点为 (0.500000000000, 0.866025403784)，正是右尖点 (3, 0) 与上尖点 (−1.5, 2.598076) 之间弧上的对称位置。

注意事项

这里的 r 是「生成圆」半径 = 外接圆半径的 1/3。曲线与三尖点处切线方向的夹角为零（尖点不可导），在 t = 0、2π/3、4π/3 处取值即可验证。

常见问题

Q：它和 astroid 什么关系？A：都是内摆线家族——astroid 是 R = 4r 的四尖特例，deltoid 是 R = 3r 的三尖特例；两者的面积比 π(2r²) : π(3r²/4) 也可由摆线通式 A = πr²(R/r − 1)(R/r − 2) 统一解释。

Q：deltoid 在数学里还有别的出场吗？A：有——复平面上单位圆盘的境界在三个切向相切的双曲几何里对应 deltoid；「复数乘法的模与辐角」在三角剖分中的包络也是它。