Dirichlet Test Calculator

原理：狄利克雷判别法：若 aₙ 单调趋于 0，且部分和 Bₙ = b₁ + ⋯ + bₙ 有界，则 ∑aₙbₙ 收敛。它统一解释了 ∑sin(n)/n 这类「不绝对收敛却收敛」的级数——sin(n) 的部分和被 1/sin(0.5) ≈ 2.0858 卡住，而 1/n 单调趋零。莱布尼茨判别法是它取 bₙ = (−1)ⁿ 的特例。

步骤：输入项数 N；观察 ∑sin(n)/n 的部分和如何逼近极限 (π − 1)/2；对照有界量 1/sin(0.5) 与交错部分和界 1；误差约按 O(1/N) 衰减。

示例：N = 100 时 S₁₀₀ = 1.060428938401，与极限 (π − 1)/2 ≈ 1.070796326795 相差 0.010367388394；N = 10000 时误差缩到 0.000071868038；∑(−1)ⁿ 的部分和在 −1 与 0 之间跳动，|Bₙ| ≤ 1 恒成立。

注意事项：判别法只保证收敛，不保证绝对收敛——∑|sin(n)/n| 发散；aₙ 必须单调趋零，仅有界不够；部分和有界性需要独立验证，三角恒等式 sin(n/2)sin((n+1)/2)/sin(0.5) 给出显式界；取 bₙ = cos(n) 同样适用。

相关：莱布尼茨判别法工具是 bₙ = (−1)ⁿ 特例；交错级数工具给出条件收敛背景；三角函数工具提供 sin(n) 的求值；调和数工具对照 1/n 的衰减。