Ehrenfest Urn Calculator

原理：埃伦费斯特瓮是热力学第二定律的概率模型——N 个球在两个瓮间每步随机选一球移到另一瓮。球数偏向均匀（两瓮各半），稳态分布是二项分布 C(N,k)/2ᴺ；从半数状态出发回到该状态的期望时间是 2ᴺ/C(N,N/2)，随 N 指数增长——这正是「熵增容易熵减难」的数学表达。

步骤：① 输入球数 N；② 点击分析；③ 读出稳态峰值概率与期望返回时间。

示例：N = 10 时两瓮各 5 个的稳态概率 0.24609375，期望返回时间 4.063492063492 步；N = 4 时返回时间只有 2.666666666667 步——系统越大，自发回到均衡态越罕见。

注意事项：期望返回时间大不代表链混合慢，单步转移仍很快；本模型每个球被选中的概率相等，带偏好的变体会改变稳态分布；N 较大时 C(N,N/2) 数值很大，工具内部用乘积式组合数避免溢出。

相关：二项分布计算器给出稳态分布的形状；平稳分布计算器处理一般转移矩阵；熵相关工具可扩展比较微观状态数。