Euler Maclaurin Formula Calculator

原理：Euler-Maclaurin 公式把离散求和 Σ f(k)（k = a..b）拆成积分 ∫ f + 端点梯形项 (f(a)+f(b))/2 + 逐阶 Bernoulli 修正 Σ B(2j)/(2j)! · (f^(2j−1)(b) − f^(2j−1)(a))，是连接求和与积分的桥梁。

步骤：① 选函数；② 输入 n 与修正阶数；③ 查看各项贡献与精确和的对比。

示例：H_10 = 2.928968253968，积分加端点项给 2.852585092994，再加一阶 B₂ 修正得 2.935085092994；Σk² 在 n = 10 时 EM 逐项完全精确等于 385——多项式的 EM 级数自动终止。

注意事项：修正项符号交替、幅值先减后增，应在最小项处截断；n 越大渐近级数可用阶数越多；本工具 f = 1/k 的 gamma 常数已隐含在展开推导中，直接实现为可计算的闭式。

相关：调和数与 Stirling 渐近展开工具是本公式的两个最著名应用；龙贝格积分从相反方向（数值积分）利用同一梯形误差结构；积分工具提供精确积分对照。