Fourier Coefficients Calculator

原理：周期 T 的函数可分解为 f(t) = a₀/2 + Σ [aₖcos(kωt) + bₖsin(kωt)]，ω = 2π/T，系数由正交积分给出：aₖ = (2/T)∫f·cos(kωt)dt、bₖ = (2/T)∫f·sin(kωt)dt。三种标准波形有闭式：方波（奇对称，±A）只含奇次正弦，bₖ = 4A/(πk)；锯齿波（0 到 T 线性上升）全谐波正弦，bₖ = −2A/(πk)；三角波（正弦反正弦版）奇次正弦，bₖ = (−1)^((k−1)/2)·8A/(π²k²)。谐波衰减速度（1/k 对 1/k²）直接反映波形跳变的剧烈程度——吉布斯现象让方波在跳变点永远带着 9% 的过冲。

步骤：选波形、输入振幅与周期，工具输出 a₀（三种对称波形的直流分量均为 0）、k = 1 到 N 的谐波系数（含零系数）与合成展开式。

示例：方波 A=1：b₁ = 1.273239544735、b₂ = 0.000000000000、b₃ = 0.424413181578；锯齿波 A=1：b₁ = -0.636619772368、b₂ = -0.318309886184；三角波 A=1：b₁ = 0.810569469139、b₃ = -0.090063274349、b₂ = 0.000000000000。

注意事项：系数闭式对应特定相位定义——方波在 t = 0 处取 +A、锯齿在区间内从 −A 线性升到 +A、三角波经 asin(sin) 定义；换相位（如方波用余弦版）系数会在 aₖ/bₖ 之间旋转；N 上限 32，更高谐波对方波跳变仍会有吉布斯过冲；振幅 A 为负时系数同步反号；非整周期输入会破坏正交性，请保持 T 为正实数即可（系数公式对任意 T 成立，ω 随 T 缩放）。

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