Fresnel Integrals Calculator

原理：菲涅尔积分源于光传播时倾斜波前的干涉分析，定义为 C(x) = ∫₀ˣcos(t²)dt 与 S(x) = ∫₀ˣsin(t²)dt（数学记法；工程手册常带 π/2 归一化即 ∫cos(πt²/2)dt，两种定义相差变量替换）。它们没有初等原函数，用幂级数 cos(t²) = ∑(−1)ᵏt⁴ᵏ/(2k)! 逐项积分得 C(x) = ∑(−1)ᵏx⁴ᵏ⁺¹/((2k)!(4k+1))，S(x) 同理。

步骤：输入积分上限 x；同时读取 C(x) 与 S(x)；需要参数曲线时把 (C(t), S(t)) 画出来即欧拉螺线（clothoid），其曲率与弧长成正比。

示例：C(1) = 0.9045242379、S(1) = 0.310268301723；C(0.5) = 0.496884029215、S(0.5) = 0.041481024269；x → ∞ 时两者都收敛到 1/2（数学记法下），欧拉螺线最终盘向点 (0.5, 0.5)。

注意事项：注意定义差异——若与工程表格（归一化 C(1) = 0.7799）对不上，先核对是否带 π/2 因子；级数在 |x| 较大时收敛变慢，工具限制 |x| ≤ 8；欧拉螺线在道路线形与铁路缓和曲线设计中直接使用这两个函数；两函数均为奇函数，负 x 给负值。

相关：积分工具给出一般定积分的数值方法；误差函数工具是另一族无初等原函数的积分；Gamma 函数工具连接特殊值；无穷级数工具是幂级数方法的背景。