Geometric Series Calculator

原理：几何级数每项乘以公比 r 得到下一项：a + ar + ar² + ⋯ + arⁿ⁻¹。当 r ≠ 1 时前 n 项和 Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)；r = 1 时 Sₙ = an。无限几何级数仅当 |r| < 1 收敛且 S∞ = a/(1 − r)——它是少数能把无穷多项加成一个有限数的级数，也是收敛半径讨论的原型。

步骤：输入首项 a、公比 r 与项数 n，工具给出前 n 项和、rⁿ；当 |r| < 1 时额外给出无限和，否则提示发散。

示例：a = 1、r = 0.5 时 S₄ = 1.875，无限和 = 2；a = 3、r = 2、n = 5 时 S₅ = 93；a = 1、r = −0.5、n = 6 时 S₆ = 0.65625，正负交错地收敛到 2/3；a = 2、r = 1、n = 10 时 S₁₀ = 20。

注意事项：|r| ≥ 1（含 r = 1 与 r = −1）时无限和发散——r = 1 是常数列累加，r = −1 在 0 和 a 之间震荡；有限和公式对任何 r 都成立，不受收敛性影响；r 越接近 1 越需要更多项逼近无限和；0 < r < 1 的场景常见于折旧、衰减与分期偿还。

相关：无穷级数工具给出一般级数的收敛背景；收敛半径工具把几何级数作为幂级数原型；p 级数工具对照 1/nᵖ 型级数；黎曼 zeta 函数工具处理 p 级数的解析延拓。