Glaisher Constant Calculator

Glaisher–Kinkelin 常数 A = 1.282427129100623 是「乘法的世界里给乘积定标的常数」：阶乘的推广 Barnes G 函数满足 ln G(n+1) ≈ n²/2·ln n − 3n²/4 + … + ζ′(−1)，而 A = e^(1/12 − ζ′(−1)) 正好吸收掉 ζ′(−1) 这一项。它出现在超阶乘 K(n+1) = 1¹·2²·…·(n−1)^(n−1) 的渐近式、Zeta 正则化乘积、乃至弦论与随机矩阵的特征值积中。

数值上先以 Euler–Maclaurin（30 项 + Bernoulli 数表）计算 ζ(s) 在 s = −1 ± h 的值，中心差分加 Richardson 外推得 ζ′(−1)，再取指数。数值重构的极限约 2e-9（差分消去的代价），因此权威值 1.282427129100623 以静态方式展示；Barnes G 的精确和 Σ ln Γ(k) 与 n² 渐近式在 n = 1000 处交叉验证。