Involute Of Circle Calculator

原理

圆的渐开线（involute of a circle）是把绕在基圆上的细线拉直展开时线端点的轨迹：x = a(cos t + t·sin t)、y = a(sin t − t·cos t)。核心几何性质：渐开线上任一点的法线都与基圆相切，且切点到该点的直线段长恰等于已展开的弧长 a·t。

速度模 |v| = a·t（线性增长），从 t = 0 起积分得弧长 L = a·t²/2；曲率半径等于展开段长 a·t。这些解析式都被 GL16 数值积分独立验证（197 批 clothoid 是曲率随弧长线性变化的亲戚，渐开线则是曲率半径 = 已展开弧长）。

使用步骤

① 输入基圆半径 a 与展开角 t（弧度，2π 约绕一圈）；② 计算得到展开弧长、终点坐标与曲率半径；③ 齿轮设计里常用 t 范围为压力角 20° 对应的展开区间。

计算示例

a = 1、t = 2π：L = 19.739208802179（= (2π)²/2 = 19.739208802179）；终点 = (1.000000000000, -6.283185307180)，即绕基圆一整圈后落回 (a, −2πa)。曲率半径 ρ = 2π = 6.283185307180。

注意事项

展开角 t 是弧度。渐开线齿廓只需基圆参数即可完全确定——这是渐开线齿轮可互换性的根基。t = 0 是曲线的尖点（渐开线起点在基圆上）。

常见问题

Q：渐开线与阿基米德螺线有何区别？A：阿基米德螺线 ρ = bθ 极径线性增长；渐开线的极径 = a√(1+t²)，且法线恒切基圆——后者是它成为齿轮齿廓的根本原因。

Q：弧长公式为什么是 t²？A：线端速度 |v| = a·t 随展开角线性增大（既绕又放），∫₀^t a·s ds = a·t²/2，与抛体位移公式同构。