Josephus Problem Calculator

原理

约瑟夫问题源自弗拉维奥·约瑟夫斯的叙述：n 人围圈，从 1 号开始报数，每数到第 k 人出列，下一位重新报数，求最后幸存者。递推 J(1) = 0、J(i) = (J(i−1) + k) mod i（0 起始）一步 O(n) 得解；k = 2 时有闭式：写 n = 2^m + L，幸存者 = 2L + 1。

经典一问 n = 41、k = 2：41 = 32 + 9，幸存位置 2×9 + 1 = 19。传说约瑟夫斯与同伴靠此推理站到免死的 16、31 号（留最后两名的变体），而非唯一幸存位。

使用步骤

① 输入人数 n 与步长 k；② 得到幸存者编号与出列顺序前 8 位；③ k = 2 时可用 2L+1 口算验证。

计算示例

J(5, 2) = 3（出列 2、4、1、5，剩 3）；J(41, 2) = 19；J(100, 3) = 91；J(1000, 7) = 404。

注意事项

编号约定影响答案：本工具用 1 起始、从 1 号开始报数；若从第 s 人开始报数，幸存者为 (J(n,k) + s − 1) mod n + 1。k = 1 时每轮第一人出列，幸存者是第 n 人。

常见问题

Q：为什么 k = 2 有公式？A：每淘汰一轮人数减半，2 的幂处编号重置为 1，此后每次淘汰跳一格——幸存者恰是「补到下一个 2 的幂所需的 2L 步」对应者。

Q：能求第 m 个出列者吗？A：可以，反向递推或用阶乘数系（k = n 的情形与排列秩一一对应），本工具给出前 8 个出列位供核对。