Lagrange Remainder Calculator

原理：泰勒定理的拉格朗日余项形式 R_n = f^(n+1)(ξ)·x^(n+1)/(n+1)!，其中 ξ 介于展开中心与 x 之间；用 (n+1) 阶导数在区间上的最大值 M 代替 f^(n+1)(ξ)，就得到可计算的误差上界。

步骤：① 选函数并输入阶数 n 与点 x；② 工具按各函数的 M 上界代入公式；③ 对照 e^x 的实际截断误差验证界的有效性。

示例：e^x 在 x = 1 取 n = 10 时，误差界为 e/11! ≈ 6.75×10^−8，而实际误差约 2.73×10^−8，界有效且不太松；sin x 在 x = 1 取 n = 5 时界为 1/6! ≈ 1.39×10^−3。

注意事项：ln(1+x) 仅对 |x| < 1 有泰勒展开且本工具给出的是保守界；误差界是上界而非等号，实际误差通常更小；阶数超过 170 时阶乘溢出双精度范围。

相关：泰勒级数与麦克劳林级数工具直接算部分和；极限比较判别法可用于估计余项级数的量级。