Lemniscate Of Bernoulli Calculator

原理

伯努利双纽线（lemniscate of Bernoulli）：到两定点距离之积为定值的点的轨迹，(x²+y²)² = a²(x²−y²)，极坐标 r² = a²cos2θ。参数式 x = a·cos t/(1+sin²t)、y = a·sin t·cos t/(1+sin²t)，呈 ∞ 形两环。

总面积 A = a²（每环 a²/2，由 r² = a²cos2θ 的极径扫掠即得）；单环弧长 ϖ = √2·K(1/√2) = 2.622057554292×a（K 为第一类完全椭圆积分，AGM 可算），总长 2ϖ——这正是「双纽线常数」的来源，与站内 lemniscate-constant 工具同口径。

使用步骤

① 输入参数 a；② 可选输入参数 t 求参数点；③ 点击计算得到面积、周长与坐标。

计算示例

a = 1 时：总面积 = 1.000000000000，总长 = 5.244115108584；t = π/4 时点为 (0.471404520791, 0.333333333333)；焦点在 ±0.707106781187。

注意事项

r² = a²cos2θ 要求 cos2θ ≥ 0，故极角只落在 |θ| ≤ π/4 与其对称扇形——曲线不会进入「上下」扇区。参数 t 与极角 θ 不同：t 绕原点一圈 0→2π，先描右环再描左环。

常见问题

Q：ϖ = 2.622057554292 怎么来的？A：ϖ = √2·K(1/√2)，K(k) = π/(2·AGM(1, √(1−k²)))，算术-几何平均迭代 4 次即收敛到 12 位。它是继 π、e 之后少数拥有专属字母的常数（高斯记号）。

Q：和 Cassini 卵形线什么关系？A：双纽线是 Cassini 卵形线（距离之积 = b²）取 b = 焦距/√2 的临界特例——恰在「单瓣」分裂为「两瓣 ∞」的瞬间。