Limacon Of Pascal Calculator

原理

帕斯卡蜗牛线（limaçon of Pascal，Étienne Pascal 1650 年前后）r = b + a·cosθ。b = 0 退化为过极点的圆，b = a 是心形线（无内环），b < a 出现自交的内环，b ≥ 2a 变为凸曲线。r = 0 的两个方向 θ₀ = arccos(−b/a) 与 2π − θ₀ 把曲线分为外环与内环。

全周期代数面积 (1/2)∫₀..2π r²dθ = πb² + πa²/2 = 外环 + 内环（两条环面积的可加校验）；外环与内环分别对 [−θ₀, θ₀] 与 [θ₀, 2π−θ₀] 积分得到几何面积，GL16 数值与解析恒等式交叉验证。

使用步骤

① 输入 a 与 b（b < a）；② 计算外环、内环面积与自交角；③ 作图时用 r = b + a·cosθ 逐点描迹。

计算示例

a = 1、b = 0.5：外环 = 2.220315379633、内环 = 0.135879110559、代数面积 = 2.356194490192（外 + 内 = 代数 ✓）、θ₀ = 2.094395102393。b = a = 1 退化心形线：外环 = 3π/2 = 4.712388980385、内环 = 0。b = 2a 凸曲线：代数面积 πb² + πa²/2 = 4.5π·a²·? a=1,b=2 → π·4 + π/2 = 14.137166941154。

注意事项

「蜗牛线面积」不同文献口径不同：有的给代数面积（含内环一次）、有的给外环、有的给两环之差。本工具三项都输出并标注口径，避免歧义。θ 用弧度。

常见问题

Q：为什么叫 Pascal 蜗牛线？A：以法国数学家 Étienne Pascal（布莱兹·帕斯卡之父）命名，与概率论的帕斯卡无直接关系。

Q：b > a 但 b < 2a 时凹但无内环？A：对——r 恒正但极角不单调，曲线出现凹陷（concave limaçon），2a 是凸性阈值。