Logistic Map Calculator

原理：逻辑斯蒂映射 x_(n+1) = r·x_n(1 − x_n) 是最著名的一维非线性离散动力系统，x 模拟受密度制约的种群比例，r 是增长率。r ≤ 1 种群灭绝；1 < r ≤ 3 轨道收敛到唯一不动点 x* = (r − 1)/r；3 < r ≤ 1 + √6 ≈ 3.449 稳定周期 2 循环（两支解由求根公式给出，上支 = (r + 1 + √((r+1)(r−3)))/(2r)）；随后周期倍化 4、8、16 …每次分岔处的 r 间距按几何收缩，比值趋于 Feigenbaum 常数 δ = 4.6692，r ≈ 3.5699 起进入混沌；r = 4 时映射满支混沌，Lyapunov 指数 = ln 2 ≈ 0.6931（相邻轨道指数分离）。周期窗口（如 r ≈ 3.83 的周期 3 窗口）中「周期 3 意味着混沌」由李-约克定理断言。

步骤：输入 r、初值与步数，程序迭代 x_(n+1) = r·x_n(1 − x_n)，取尾部 64 项判定周期（1e-6 容差去重），并数值估计 Lyapunov 指数 λ = 平均 ln|r(1 − 2x_n)|。

示例：r = 2 时轨道收敛到 x* = 0.500000000000；r = 3.2 出现周期 2 循环，上支 = 0.799455490467、下支 = 0.513044509533；r = 4 时 Lyapunov 指数数值逼近 0.693147180560；混沌起点 r_∞ ≈ 3.569945672。

注意事项：r 限 0 到 4（r > 4 轨道逃逸到负无穷）；x0 需开区间 (0, 1)；Lyapunov 数值对步数敏感——建议 n ≥ 20000（本工具默认值），混沌区数值波动约 ±0.01；判定行「周期 k」指尾部收敛后的循环长度，混沌时显示提示文本。

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