Pappus Theorem Calculator

原理：亚历山大的帕普斯（公元 4 世纪，《数学汇编》第七卷，亦归名古尔丁定理）给出两个旋转体定理。第一定理（体积）：平面图形绕不相交轴旋转一周，体积 = 图形面积 × 质心经过的路程，V = 2π·d̄·A。圆盘旋转成环面：A = πr²、d̄ = R，故 V = 2πR·πr² = 2π²Rr²。第二定理（面积）：平面曲线绕不相交轴旋转的侧面积 = 弧长 × 弧质心路程，S = 2π·d̄·L。半圆弧旋转成球面：L = πr、半圆弧质心距 = 2r/π（由 ∫ sin t dt / π），故 S = 2π·(2r/π)·πr = 4πr²——阿基米德的球面积公式由此一行得出。两定理把「旋转体」问题整体化归为「找质心」，是积分史前最深刻的几何求积。

步骤：输入环面的 R 与 r（需 R > r 保证自不相交），输出闭式体积、以 2000 段复合高斯求积对生成圆盘做的数值校验，以及半圆弧旋转成球面的面积对拍（含数值弧长与数值质心）。

示例：R = 3、r = 1 时环面体积 = 59.217626406536（= 2π²·3），数值校验 = 59.217626483972；r = 1 球面面积 = 12.566370614359，数值校验 = 12.566370614359；半圆弧质心 = 0.636619772368（理论 2/π ≈ 0.636619772368）。

注意事项：需 R > r（R = r 时环面自切成角环，轴穿过生成图形，定理前提失效）；两定理只适用于与轴不相交的图形；体积数值校验对圆盘边缘（被积函数含 √ 的端点奇异）使用 2000 段复合求积，误差小于 1e-6；环面体积亦可用二重积分 ∫∫ 2πx dA 直接算得，两条路径必相等。

相关：球体积与表面积工具给出阿基米德球公式族；质心工具实现一般图形的形心积分；圆柱体积是环面 R → ∞ 的退化极限。