Perfect Numbers Calculator

原理：完全数等于其全部真因子之和，等价于因子和函数 σ(n) = 2n。欧几里得在《几何原本》第九卷证明：若 2^p − 1 是素数（梅森素数），则 2^(p−1)(2^p − 1) 是完全数；两千年后欧拉证明反方向——所有偶完全数都有且仅有这一形式。σ 的乘性给出验证：σ(2^(p−1)(2^p − 1)) = (2^p − 1)·2^p = 2n。前四个完全数 6 = 1+2+3、28 = 1+2+4+7+14、496、8128 分别对应 p = 2, 3, 5, 7；第 5 个 33550336 对应 p = 13。完全数是否无穷多个、是否存在奇完全数，至今未解。

步骤：输入搜索上限，程序对每个 n ≥ 2 用 O(√n) 试除计算 σ(n)，逐个检验 σ(n) = 2n，并给出每个完全数对应的欧拉指数 p。

示例：上限 10000 时得到 6, 28, 496, 8128 共 4 个；σ(8128) = 16256.000000000000 = 2 × 8128；欧拉公式回代：p = 7 给出 8128。

注意事项：上限最大 200000（浏览器实时枚举的性能边界；200000 以内完全数只有前 4 个）；6 是唯一的完满位似（各位数字和也为真因子和的特例）；本工具为偶完全数枚举——奇完全数若存在必大于 10^1500，不在枚举射程内。

相关：梅森素数工具给出 2^p − 1 的素性检验；因子分解工具展示 σ 函数的算术；亲和数 220 与 284 是 σ 函数的另一个经典常数对。