Prime Gaps Calculator

原理：相邻素数之差称为素数间隙。平均间隙随位置增长：在 x 附近约为 ln x（素数定理的直接推论），但局部起伏巨大——1 到 100 的平均间隙 ≈ 3.958333333333，最大间隙 8（89 → 97）；到 10¹⁸ 附近已发现超过 1500 的间隙。孪生素数猜想断言间隙 = 2 出现无穷多次，而波利尼亚克猜想把它推广到任意偶间隙；张益唐 2013 年证明存在无穷多个小于 7000 万的间隙，目前界已压到 246。

步骤：输入区间 [a, b]，工具用埃拉托斯特尼筛生成 ≤ b 的素数表，过滤出区间内素数，统计个数、首末位置、最大间隙及其全部出现位置、平均间隙与孪生对数。

示例：[2, 50] 内 15 个素数，最大间隙 6（23→29、31→37），平均 3.214285714286；[1, 100] 内 25 个素数，最大间隙 8（89→97），平均 3.958333333333；1 到 100 有 8 对孪生素数，1 到 500 有 24 对。

注意事项：区间跨度上限 200000（筛法内存与耗时控制）；a ≥ 1 时区间从 2 开始筛，单个素数（区间内不足 2 个）无法定义间隙；最大间隙可能并列出现，工具列出全部位置；「孪生素数」按相邻素数差 = 2 计数，(3,5) 与 (5,7) 共享 5 各算一对。

相关：孪生素数与素数计数工具给出间隙理论的两个端点；素数分类工具从性质分类看整数；威尔逊定理与二次剩余工具提供素数判定的代数视角；质因数分解工具展示间隙之间的合数结构。