Quadratrix Of Hippias Calculator

原理

希皮亚斯割圆曲线（quadratrix）：设半径从 OA 转到 OB（角度匀速），同时水平线从 OB 匀速升到 OA，两者的交点轨迹即 x = y·cot(πy/2a)。角度与高度同步线性推进，把「角」翻译成「线段」。

y → 0 时 x → 2a/π（x 轴截距），用一条可构造线段表出 π/2——这正是「化圆为方」的历史钥匙（虽按尺规作图公理仍不合规）。曲线与两轴围出的面积 = 2a²ln2/π（GL16 数值与解析一致）。

使用步骤

① 输入半径 a；② 输入 0 到 a 之间的 y；③ 点击计算得到 x 坐标、截距与面积。

计算示例

a = 1 时：x(0.5) = 0.5·cot(π/4) = 0.500000000000；x 轴截距 = 2/π = 0.636619772368；面积 = 2ln2/π = 0.441271200305。

注意事项

曲线在 y = a 处趋于 x = 0（顶点 B），在 y → 0 处有有限极限 2a/π，但 y = 0 本身不在轨迹上（角速度与平移的「终点」）。三等分任意角的性质：过割圆曲线上高度 y/3 处的水平线与角度四等分线的交点可回构三等分角。

常见问题

Q：既然能化圆为方，为什么说「不可能」？A：尺规作图只允许有限步圆规直线交点，割圆曲线本身需「匀速运动」这种超出公理的构造，因此不构成反例——它展示的是超越公理外的工具威力。

Q：它与蔓叶线什么关系？A：两者都是古希腊「借曲线解三大作图题」的代表：割圆曲线攻化圆为方与三等分角，蔓叶线攻立方倍积。