Radius Of Convergence Calculator

原理：幂级数 ∑cₖxᵏ 在 |x| < R 内绝对收敛、|x| > R 发散。柯西–阿达马公式给出 R = 1/limsup|cₖ|^(1/k)（根值法）；若相邻系数比的极限存在，比值法 R = lim|cₖ/cₖ₊₁| 同样适用。工具对有限个已知系数做保守估计：比值法取所有相邻比的最小值，根值法取所有 |cₖ|^(1/k) 的最大值。

步骤：把幂级数写成 ∑cₖxᵏ 并列出至少 3 个系数，逗号分隔输入；同时读取比值法与根值法两个估计，其中较小者是对真实半径的保守下界。

示例：1/(1 − x) = ∑xᵏ 的系数全为 1，两个估计都是 1（真值 R = 1）；eˣ = ∑xᵏ/k! 输入前 8 个系数得比值估计 1（真值 R = ∞，有限项估计偏小）；∑k!xᵏ 输入 1,1,2,6,24,120,720,5040 得根值估计 0.295856661262，随项数增加趋于 0。

注意事项：有限系数只是估计——eˣ 型（R = ∞）与 1/(k+1) 型（R = 1）在前几项上可能给出相近数值，系数越多估计越准；系数出现 0 时比值法自动跳过该对；|x| = R 处的收敛性需要单独讨论；泰勒级数的 R 由最近奇点决定，如 ln(1+x) 的 R = 1 由奇点 x = −1 决定。

相关：泰勒级数工具给出函数展开系数；幂级数工具处理逐项运算；比值判别法与根值判别法工具是本估计的理论依据。