Romberg Integration Calculator

原理：龙贝格积分先把梯形法步长逐次减半得到 T_0, T_1, …，再反复用 Richardson 外推 T(i,j) = T(i,j−1) + (T(i,j−1) − T(i−1,j−1))/(4^j − 1) 消去低阶误差项，把误差阶从 O(h^2) 一路提到 O(h^(2n+2))。

步骤：① 选函数与积分区间；② 6 行外推表自动构建；③ 读取右上角 R(6,6) 与精确值对照。

示例：sin x 在 [0, π] 的 R(6,6) ≈ 2.000000000001（机器精度级）；x^2 在 [0,1] 直接得 1/3；4/(1+x^2) 在 [0,1] 收敛到 π。

注意事项：被积函数需充分光滑，端点导数奇异或强振荡会显著降低外推效率；本工具固定 6 行（33 次函数求值），要求更高精度需增加行数；区间的奇性（如 ln x 在 0）需先变换。

相关：辛普森法则与黎曼和是低阶近似；龙贝格可视为它们的系统化外推版本；定积分工具给出解析原函数路径。