Semicubical Parabola Calculator

原理

半立方抛物线（semicubical parabola）y² = x³（右支 y = x^(3/2)）由 William Neile 1657 年发现，是史上第一条完成「精确求长」的代数曲线。弧长 s(x) = ((4+9x)^(3/2) − 8)/27，纯根式表达。

它还是抛物线 y = x² 的渐屈线：曲率中心的轨迹 X = −4x³、Y = 3x²+1/2 满足 X² = (16/27)(Y−1/2)³，仍是半立方抛物线。物理上，等时降落轨道（tautochrone）的边界就是它。

使用步骤

① 输入横坐标 x（x ≥ 0）；② 点击计算得到纵坐标、自原点起的弧长与对应渐屈线点。

计算示例

x = 4 时：y = 8，弧长 s = (40^(3/2) − 8)/27 = 9.073415289388；渐屈线点 (−256, 48.5)。x = 1 时 s = (13^(3/2) − 8)/27 = 1.439709873372。

注意事项

原点是半立方尖点（cusp）：y = x^(3/2) 在 0 处一阶导为 0、二阶导发散，曲线以切线 y = 0 贴着 x 轴「折」进去。弧长公式从原点起算，负 x 无定义。

常见问题

Q：「半立方」指什么？A：纵坐标以 x 的 3/2（半次方后的立方）次幂增长，与普通抛物线 y = x² 相比在原点附近「更瘦、更陡」。

Q：为什么它在物理里重要？A：惠更斯发现摆线是等时降落曲线，而沿竖直摆线下滑质点的水平位置随时间的变化轨迹恰好是半立方抛物线——它是渐屈线理论的第一个应用成果。