Strophoid Calculator

原理

环索线（strophoid）直角方程 y² = x²(a+x)/(a−x)，极坐标 r = −a·cos2θ/cosθ。曲线在 θ ∈ (−π/4, π/4) 绕出中央环，两侧各有一支伸向渐近线 x = a（斜渐近线 y = ±x + a 的合称由直角式 x = a 给出垂直渐近线）。

环面积有漂亮的闭式 A = a²(2 − π/2)：环内正方形部分 2a² 减去扇形 πa²/2。两环间弦（F 与 F′ 之间）长 2√2·a。数值上 GL16 对极坐标被积函数 a²cos²2θ/cos²θ 积分与 20 万点 shoelace 复算一致。

使用步骤

① 输入参数 a；② 计算环面积与弦长；③ 作图用参数 θ ∈ (−π/2, π/2) 的极坐标式（避开 cosθ = 0）。

计算示例

a = 1：环面积 = 0.429203673205（= 2 − π/2 = 0.429203673205），弦长 = 2.828427124746；x = 0.5a 处 y = ±0.5√3·a（代入 y² = x²(a+x)/(a−x) 验证 0.75a²）。

注意事项

环索线是牛顿《三次曲线枚举》分类中的经典四次曲线；别与 strophoid 的姐妹曲线「斜环索线」（一般极式 r·cos(θ−α) = a·cos2θ）混淆——本工具是 α = 0 的直角版本。

常见问题

Q：面积公式为什么有 π/2？A：环边界包含以极点为心、半径 a 的圆弧段（θ 从 −π/4 到 π/4 的部分），正方形 2a² 与该 45° 扇形 πa²/2 之差即环面积。

Q：与蔓叶线（cissoid）的关系？A：同为牛顿曲线家族、都以渐近线 + 中央环为特征；cissoid 的渐近线在 x = 2a、strophoid 在 x = a，且 strophoid 的环面积有更简洁的 2 − π/2。