Tautochrone Calculator

原理

等时曲线（tautochrone，希腊语「相同时间」）是倒置的摆线：粒子沿倒摆线从任意静止起点滑到最低点，所用时间恒为 T = π√(R/g)，与起点高低无关。这是惠更斯 1659 年的发现，他据此设计摆线夹板钟，试图让摆钟真正等时。

倒摆线取 y = R(1 + cos t)、弧长 ds = 2R·sin(t/2)dt。下滑时间 T = ∫ds/√(2g(y0−y))，被积函数在起点有可积奇点；用代换消去后积分恰为常数 π√(R/g)。本工具同时用 RK4 物理模拟（切向方程 v̇ = g·cos(t/2)）数值复核等时性。

使用步骤

① 输入摆线生成圆半径 R 与重力加速度 g；② 得到下滑时间、整拱弧长与单摆对照；③ 修改起点参数 t0 重算，观察模拟用时不变。

计算示例

R = 1 m、g = 9.80665 时：T = π/√9.80665 = 1.003204646295 s；起点 t0 = π/2 弧长 1.171572875254 m、t0 = 3π/4 弧长 2.469266270540 m，两者滑到底部时间相同。同摆长单摆周期 2π√(R/g) = 2.006409292589 s，恰是 2 倍。

注意事项

摆线的「最速下降」（brachistochrone）与「等时」（tautochrone）是同一条曲线的两个性质：沿它下滑最快、且起点无关。摆线夹板钟因摩擦与加工精度未成主流，但思想催生了摆线的等时摆研究。

常见问题

Q：与单摆的等时性有何不同？A：单摆只在小幅角下近似等时（sin θ ≈ θ），大摆角周期变长；摆线滑道是严格等时的，这正是惠更斯追求它的原因。

Q：R 变大一倍时间怎么变？A：T = π√(R/g)，与 √R 成正比——R = 2 时时间增为 √2 ≈ 1.414 倍。