Calculatrice de Apollonian Circle
Calculatrice en ligne gratuite de apollonian circle. Saisissez vos valeurs et obtenez des résultats instantanés avec la formule, la procédure étape par étape et un exemple résolu — tout est calculé dans votre navigateur sur Calcton, sans inscription.
Version chinoise : 阿波罗尼奥斯圆在线计算器
原理
笛卡尔圆定理（Descartes circle theorem，1643）：四个两两相切的圆，其曲率 k = ±1/r（内凹外包圆取负号）满足 (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)。解出 k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁)，正号给内部小圆、负号给外面包围的公切圆。
反复以新圆替换旧圆即生成阿波罗尼奥斯垫圈（Apollonian gasket）——分形维数约 1.3057 的自相似圆堆积。该定理的 Soddy 1936 韵文版又名「Soddy 圆」。
使用步骤
① 输入三个两两相切圆的曲率（半径的倒数）；② 计算得到内切第四圆与外包圆的曲率/半径；③ 把新圆曲率与任三旧圆组合可继续迭代生成垫圈。
计算示例
k = (1, 2, 3)：k₄⁺ = 12.633249580711（r₄ = 0.079156197589），k₄⁻ = -0.633249580711（外包圆）。三等圆 k = (1, 1, 1)：k₄⁺ = 3 + 2√3 = 6.464101615138、k₄⁻ = 3 − 2√3 = -0.464101615138。
注意事项
曲率必须用 1/r 而不是半径本身。k₄⁻ 为负表示外包圆是内凹的（半径取绝对值）。定理要求四圆两两相切；若给定的三圆不相切，结果无几何意义。四圆互换位置结论不变（方程对称）。
常见问题
Q：直线怎么处理？A：直线是半径无穷大的圆，曲率 0。如两个等圆与一条公切线围出的缝隙：k = (1, 1, 0) → k₄ = 2 ± 2√2。
Q：能推广到球吗？A：能——五球版 Soddy–Gossett 定理 (Σkᵢ)² = 3Σkᵢ²（五维为 nΣkᵢ²），三维四球加一球同理。
参考值区（Descartes 恒等式同源校验）
k = (1,2,3)：k₄ = 12.633249580711 / -0.633249580711，r₄⁺ = 0.079156197589；(Σk)² = 2Σk² 恒等式数值零残差。
Comment utiliser la calculatrice de apollonian circle
- Remplissez les champs avec vos propres valeurs — chaque champ indique la valeur attendue.
- Le résultat se met à jour instantanément pendant la saisie ; il n\'y a pas de bouton « Calculer ».
- Lisez la carte de résultat pour voir la valeur principale, la formule étape par étape et les notes pratiques.
Questions fréquentes
La calculatrice de apollonian circle est-elle gratuite ?
Oui — toutes les calculatrices de mathématiques sur Calcton sont gratuites et sans inscription. Vos données sont traitées dans votre navigateur et jamais envoyées à un serveur.
Existe-t-il une version chinoise de cet outil ?
Oui. Utilisez le lien vers la version chinoise ci-dessus : c\'est la même calculatrice avec l\'interface en chinois simplifié.
Calculatrices associées
Plus dans cette catégorie : calculatrices de mathématiques
À propos des calculatrices de mathématiques
Calculatrices mathématiques gratuites en ligne pour l'algèbre, les statistiques, la théorie des nombres et l'arithmétique quotidienne : équations du second degré, matrices, pourcentages, fractions et factorisation en nombres premiers, chacune avec les formules détaillées étape par étape.