Calculatrice de Hypergeometric Series
Calculatrice en ligne gratuite de hypergeometric series. Saisissez vos valeurs et obtenez des résultats instantanés avec la formule, la procédure étape par étape et un exemple résolu — tout est calculé dans votre navigateur sur Calcton, sans inscription.
Version chinoise : 超几何级数在线计算器
原理：高斯超几何级数 ₂F₁(a,b;c;z) 的系数由 Pochhammer 符号 (a)ₖ = a(a+1)⋯(a+k−1) 构成：(a)ₖ(b)ₖ/((c)ₖk!)·zᵏ。它是绝大多数初等与特殊函数的「母函数」：₂F₁(1,1;2;z) = −ln(1−z)/z、₂F₁(½,1;3/2;z) = artanh(√z)/√z，二项级数与 arctan 级数都是它的特例；高斯求值公式给出 z = 1 处的封闭值。
步骤：输入三个参数 a、b、c 与自变量 z（|z| < 1 内按定义收敛）；读取级数值；若参数是 (1,1;2) 自动给出对数闭式对照；c 为 0 或负整数时提示发散。
示例：₂F₁(1,1;2;0.5) = 1.38629436112，恰为 −ln(0.5)/0.5 = 2 ln2；₂F₁(½,1;3/2;0.25) = 1.098612288668，恰为 artanh(0.5)/0.5 = ln3；₂F₁(1,1;2;0.1) = 1.053605156578 对照 −ln(0.9)/0.1 = 1.053605156578。
注意事项：c 不得为 0 或负整数（Pochhammer 分母为零）；|z| = 1 处收敛性依 Re(c−a−b) 讨论，z = 1 时高斯公式要求 Re(c−a−b) > 0；z 接近 1 时级数收敛显著变慢；a 或 b 为非正整数时级数多项式化（截断），值仍有限。
相关：二项式定理工具是 α 非负整数时的特例；Beta 函数与 Gamma 函数工具给出高斯求值公式所需的原材料；整数分拆工具展示生成函数思想。
Comment utiliser la calculatrice de hypergeometric series
- Remplissez les champs avec vos propres valeurs — chaque champ indique la valeur attendue.
- Le résultat se met à jour instantanément pendant la saisie ; il n\'y a pas de bouton « Calculer ».
- Lisez la carte de résultat pour voir la valeur principale, la formule étape par étape et les notes pratiques.
Questions fréquentes
La calculatrice de hypergeometric series est-elle gratuite ?
Oui — toutes les calculatrices de mathématiques sur Calcton sont gratuites et sans inscription. Vos données sont traitées dans votre navigateur et jamais envoyées à un serveur.
Existe-t-il une version chinoise de cet outil ?
Oui. Utilisez le lien vers la version chinoise ci-dessus : c\'est la même calculatrice avec l\'interface en chinois simplifié.
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