apollonian circle 計算ツール
apollonian circle 計算ツール（無料・オンライン）。数値を入力すると瞬時に結果が表示され、計算式・手順・計算例も確認できます。すべてブラウザ内で計算され、登録は不要です。
中国語版: 阿波罗尼奥斯圆在线计算器
原理
笛卡尔圆定理（Descartes circle theorem，1643）：四个两两相切的圆，其曲率 k = ±1/r（内凹外包圆取负号）满足 (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)。解出 k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁)，正号给内部小圆、负号给外面包围的公切圆。
反复以新圆替换旧圆即生成阿波罗尼奥斯垫圈（Apollonian gasket）——分形维数约 1.3057 的自相似圆堆积。该定理的 Soddy 1936 韵文版又名「Soddy 圆」。
使用步骤
① 输入三个两两相切圆的曲率（半径的倒数）；② 计算得到内切第四圆与外包圆的曲率/半径；③ 把新圆曲率与任三旧圆组合可继续迭代生成垫圈。
计算示例
k = (1, 2, 3)：k₄⁺ = 12.633249580711（r₄ = 0.079156197589），k₄⁻ = -0.633249580711（外包圆）。三等圆 k = (1, 1, 1)：k₄⁺ = 3 + 2√3 = 6.464101615138、k₄⁻ = 3 − 2√3 = -0.464101615138。
注意事项
曲率必须用 1/r 而不是半径本身。k₄⁻ 为负表示外包圆是内凹的（半径取绝对值）。定理要求四圆两两相切；若给定的三圆不相切，结果无几何意义。四圆互换位置结论不变（方程对称）。
常见问题
Q：直线怎么处理？A：直线是半径无穷大的圆，曲率 0。如两个等圆与一条公切线围出的缝隙：k = (1, 1, 0) → k₄ = 2 ± 2√2。
Q：能推广到球吗？A：能——五球版 Soddy–Gossett 定理 (Σkᵢ)² = 3Σkᵢ²（五维为 nΣkᵢ²），三维四球加一球同理。
参考值区（Descartes 恒等式同源校验）
k = (1,2,3)：k₄ = 12.633249580711 / -0.633249580711，r₄⁺ = 0.079156197589；(Σk)² = 2Σk² 恒等式数值零残差。
apollonian circle 計算ツールの使い方
- 各入力欄に自分の数値を入力します — 各欄に求める値の説明があります。
- 入力すると結果は即座に更新されます。「計算」ボタンは不要です。
- 結果カードで主要な数値、手順、実務上の注意点を確認できます。
よくある質問
apollonian circle 計算ツールは無料ですか？
はい — Calcton の数学の計算ツールはすべて無料で、登録も不要です。入力データはブラウザ内で処理され、サーバーには送信されません。
このツールの中国語版はありますか？
はい。上の中国語版へのリンクをご利用ください。同じ計算ツールを簡体字中国語インターフェースで利用できます。
関連する計算ツール
同カテゴリのその他のツール: 数学の計算ツール一覧
数学の計算ツールについて
代数・統計・数論・日常算数のための無料オンライン数学計算ツール。二次方程式や行列から、パーセント・分数・素因数分解まで、すべてに計算式と手順を表示します。