astroid 計算ツール
astroid 計算ツール（無料・オンライン）。数値を入力すると瞬時に結果が表示され、計算式・手順・計算例も確認できます。すべてブラウザ内で計算され、登録は不要です。
中国語版: 星形线在线计算器
原理
星形线（astroid）是半径 r 的圆在半径 R = 4r 的圆内侧滚动时，圆上定点的轨迹，属四尖内摆线。其直角坐标方程为 x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)，参数式为 x = a·cos³t、y = a·sin³t。
面积 A = (1/2)∮(x·dy − y·dx) = 3πa²/8；周长由 |v| = 3a·sin t·cos t 在四个象限积分得 L = 6a。生成圆滚完一圈需自转 4 圈，形成 4 个尖点。
使用步骤
① 输入生成圆半径 a（即星形线外接正方形的半宽）；② 点击计算得到面积、周长与曲率半径；③ 换 a 值可批量对比不同尺寸。
计算示例
a = 1 时：A = 3π/8 = 1.178097245096，L = 6 = 6.000000000000；顶点 (1, 0)、(0, 1) 等四处为尖点；t = π/4 时点为 (√2/4, √2/4) ≈ (0.353553, 0.353553)。
注意事项
面积公式中的 a 是「生成圆半径」= 星形线的外接半宽，不是内摆线里的大圆半径 R = 4a。渐屈线（曲率中心的轨迹）是与原曲线相似的放大 2 倍星形线——这是它别名「四尖内摆线」的经典性质。
常见问题
Q：与 198 批的 hypocycloid（内摆线）是什么关系？A：星形线正是 R = 4r 的内摆线特例，本工具聚焦星形线自身的面积、周长与光学应用（反射光沿切线方向聚成星芒）。
Q：面积为什么只有外接圆面积的 3/32π 倍？A：外接圆面积 πa²，星形线 A = 3πa²/8，恰好是圆的 3/8——尖点内凹「吃掉」了 5/8。
参考值区（GL16 数值校验同源）
a = 1：A = 1.178097245096、L = 6.000000000000；shoelace 72 万点复算 A 与解析一致（1.178097245141）。
astroid 計算ツールの使い方
- 各入力欄に自分の数値を入力します — 各欄に求める値の説明があります。
- 入力すると結果は即座に更新されます。「計算」ボタンは不要です。
- 結果カードで主要な数値、手順、実務上の注意点を確認できます。
よくある質問
astroid 計算ツールは無料ですか？
はい — Calcton の数学の計算ツールはすべて無料で、登録も不要です。入力データはブラウザ内で処理され、サーバーには送信されません。
このツールの中国語版はありますか？
はい。上の中国語版へのリンクをご利用ください。同じ計算ツールを簡体字中国語インターフェースで利用できます。
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数学の計算ツールについて
代数・統計・数論・日常算数のための無料オンライン数学計算ツール。二次方程式や行列から、パーセント・分数・素因数分解まで、すべてに計算式と手順を表示します。