lemniscate of bernoulli 計算ツール
lemniscate of bernoulli 計算ツール（無料・オンライン）。数値を入力すると瞬時に結果が表示され、計算式・手順・計算例も確認できます。すべてブラウザ内で計算され、登録は不要です。
中国語版: 伯努利双纽线在线计算器
原理
伯努利双纽线（lemniscate of Bernoulli）：到两定点距离之积为定值的点的轨迹，(x²+y²)² = a²(x²−y²)，极坐标 r² = a²cos2θ。参数式 x = a·cos t/(1+sin²t)、y = a·sin t·cos t/(1+sin²t)，呈 ∞ 形两环。
总面积 A = a²（每环 a²/2，由 r² = a²cos2θ 的极径扫掠即得）；单环弧长 ϖ = √2·K(1/√2) = 2.622057554292×a（K 为第一类完全椭圆积分，AGM 可算），总长 2ϖ——这正是「双纽线常数」的来源，与站内 lemniscate-constant 工具同口径。
使用步骤
① 输入参数 a；② 可选输入参数 t 求参数点；③ 点击计算得到面积、周长与坐标。
计算示例
a = 1 时：总面积 = 1.000000000000，总长 = 5.244115108584；t = π/4 时点为 (0.471404520791, 0.333333333333)；焦点在 ±0.707106781187。
注意事项
r² = a²cos2θ 要求 cos2θ ≥ 0，故极角只落在 |θ| ≤ π/4 与其对称扇形——曲线不会进入「上下」扇区。参数 t 与极角 θ 不同：t 绕原点一圈 0→2π，先描右环再描左环。
常见问题
Q：ϖ = 2.622057554292 怎么来的？A：ϖ = √2·K(1/√2)，K(k) = π/(2·AGM(1, √(1−k²)))，算术-几何平均迭代 4 次即收敛到 12 位。它是继 π、e 之后少数拥有专属字母的常数（高斯记号）。
Q：和 Cassini 卵形线什么关系？A：双纽线是 Cassini 卵形线（距离之积 = b²）取 b = 焦距/√2 的临界特例——恰在「单瓣」分裂为「两瓣 ∞」的瞬间。
参考值区（同源数值校验）
a = 1：左右环 shoelace 各 72 万点复算面积 0.499999999976 / 0.499999999975（各 1/2）；ϖ 与站内 lemniscate-constant 一致（2.622057554292）。
lemniscate of bernoulli 計算ツールの使い方
- 各入力欄に自分の数値を入力します — 各欄に求める値の説明があります。
- 入力すると結果は即座に更新されます。「計算」ボタンは不要です。
- 結果カードで主要な数値、手順、実務上の注意点を確認できます。
よくある質問
lemniscate of bernoulli 計算ツールは無料ですか？
はい — Calcton の数学の計算ツールはすべて無料で、登録も不要です。入力データはブラウザ内で処理され、サーバーには送信されません。
このツールの中国語版はありますか？
はい。上の中国語版へのリンクをご利用ください。同じ計算ツールを簡体字中国語インターフェースで利用できます。
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数学の計算ツールについて
代数・統計・数論・日常算数のための無料オンライン数学計算ツール。二次方程式や行列から、パーセント・分数・素因数分解まで、すべてに計算式と手順を表示します。