primitive roots 計算ツール
primitive roots 計算ツール（無料・オンライン）。数値を入力すると瞬時に結果が表示され、計算式・手順・計算例も確認できます。すべてブラウザ内で計算され、登録は不要です。
中国語版: 原根在线计算器
原理
g 是模素数 p 的原根，指 g 的幂恰好跑遍模 p 的全部非零剩余（即 1 到 p−1 各一次），也就是 g 的阶（乘法周期）等于 p−1。判据：对 p−1 的每个素因子 q，都有 g^((p−1)/q) ≢ 1 (mod p)。原根个数恰为 φ(p−1)——本工具对每个候选 g 逐一验证该判据。
原根让离散对数变得自然：任何非零剩余都可写成 g^k， Diffie-Hellman 密钥交换与 ElGamal 签名都建立在「由 g^k 反推 k 很难」之上。不是所有模数都有原根：恰有原根的模数是 2、4、p^k、2p^k。
使用步骤
① 输入素数 p；② 得到全部原根、个数 φ(p−1) 与最小原根；③ 密码学应用通常直接取最小原根为生成元。
计算示例
p = 7：原根 3 与 5（φ(6) = 2 个）；p = 11：原根 2、6、7、8（4 个）；p = 13：原根 2、6、7、11；p = 97 的最小原根是 5。3^2 = 2、3^3 = 6、3^6 = 1 (mod 7)——阶恰为 6，故 3 是原根。
注意事项
p−1 的素因子分解是判据的前提（本工具内部枚举 q 验证）；对大素数应先分解 p−1 再检验。合数模的「原根」定义相同但存在性需先查 2、4、p^k、2p^k 列表。
常见问题
Q：原根为什么总是成组出现？A：若 g 是原根，g^k 与 p 互素当且仅当 gcd(k, p−1) = 1，这样的 k 有 φ(p−1) 个，故原根成 φ(p−1) 个并可与指数一一对应。
Q：Artin 猜想和它有关吗？A：有关——Artin 常数猜想：对固定整数 a 非完全平方，a 是无穷多个素数的最小原根，密度约 0.3739。
参考值区（同源数值校验）
p = 7：原根 3、5；p = 11：原根 2、6、7、8（φ(10) = 4 个）；p = 97 最小原根 5。
primitive roots 計算ツールの使い方
- 各入力欄に自分の数値を入力します — 各欄に求める値の説明があります。
- 入力すると結果は即座に更新されます。「計算」ボタンは不要です。
- 結果カードで主要な数値、手順、実務上の注意点を確認できます。
よくある質問
primitive roots 計算ツールは無料ですか？
はい — Calcton の数学の計算ツールはすべて無料で、登録も不要です。入力データはブラウザ内で処理され、サーバーには送信されません。
このツールの中国語版はありますか？
はい。上の中国語版へのリンクをご利用ください。同じ計算ツールを簡体字中国語インターフェースで利用できます。
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数学の計算ツールについて
代数・統計・数論・日常算数のための無料オンライン数学計算ツール。二次方程式や行列から、パーセント・分数・素因数分解まで、すべてに計算式と手順を表示します。