tautochrone 計算ツール
tautochrone 計算ツール（無料・オンライン）。数値を入力すると瞬時に結果が表示され、計算式・手順・計算例も確認できます。すべてブラウザ内で計算され、登録は不要です。
中国語版: 等时曲线在线计算器
原理
等时曲线（tautochrone，希腊语「相同时间」）是倒置的摆线：粒子沿倒摆线从任意静止起点滑到最低点，所用时间恒为 T = π√(R/g)，与起点高低无关。这是惠更斯 1659 年的发现，他据此设计摆线夹板钟，试图让摆钟真正等时。
倒摆线取 y = R(1 + cos t)、弧长 ds = 2R·sin(t/2)dt。下滑时间 T = ∫ds/√(2g(y0−y))，被积函数在起点有可积奇点；用代换消去后积分恰为常数 π√(R/g)。本工具同时用 RK4 物理模拟（切向方程 v̇ = g·cos(t/2)）数值复核等时性。
使用步骤
① 输入摆线生成圆半径 R 与重力加速度 g；② 得到下滑时间、整拱弧长与单摆对照；③ 修改起点参数 t0 重算，观察模拟用时不变。
计算示例
R = 1 m、g = 9.80665 时：T = π/√9.80665 = 1.003204646295 s；起点 t0 = π/2 弧长 1.171572875254 m、t0 = 3π/4 弧长 2.469266270540 m，两者滑到底部时间相同。同摆长单摆周期 2π√(R/g) = 2.006409292589 s，恰是 2 倍。
注意事项
摆线的「最速下降」（brachistochrone）与「等时」（tautochrone）是同一条曲线的两个性质：沿它下滑最快、且起点无关。摆线夹板钟因摩擦与加工精度未成主流，但思想催生了摆线的等时摆研究。
常见问题
Q：与单摆的等时性有何不同？A：单摆只在小幅角下近似等时（sin θ ≈ θ），大摆角周期变长；摆线滑道是严格等时的，这正是惠更斯追求它的原因。
Q：R 变大一倍时间怎么变？A：T = π√(R/g)，与 √R 成正比——R = 2 时时间增为 √2 ≈ 1.414 倍。
参考值区（同源数值校验）
R = 1、g = 9.80665：T = 1.003204646295 s；RK4 模拟 t0 = π/4、π/2、3π/4 三起点分别为 1.003213442574、1.003210288501、1.003205568097 s（等时性成立，离散误差 < 1e-5）。
tautochrone 計算ツールの使い方
- 各入力欄に自分の数値を入力します — 各欄に求める値の説明があります。
- 入力すると結果は即座に更新されます。「計算」ボタンは不要です。
- 結果カードで主要な数値、手順、実務上の注意点を確認できます。
よくある質問
tautochrone 計算ツールは無料ですか？
はい — Calcton の数学の計算ツールはすべて無料で、登録も不要です。入力データはブラウザ内で処理され、サーバーには送信されません。
このツールの中国語版はありますか？
はい。上の中国語版へのリンクをご利用ください。同じ計算ツールを簡体字中国語インターフェースで利用できます。
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数学の計算ツールについて
代数・統計・数論・日常算数のための無料オンライン数学計算ツール。二次方程式や行列から、パーセント・分数・素因数分解まで、すべてに計算式と手順を表示します。