Aitken-Delta-Squared-Rechner

原理：Aitken Δ² 加速对线性收敛序列 xₙ 用相邻三项构造 x* = x₃ − (Δx₂)²/Δ²x，其中 Δ 为前向差分；它把误差的主导项消去，对误差按固定比率衰减的序列效果显著。

步骤：① 选序列；② 输入起始下标 m；③ 对比原始部分和、一级与二级 Aitken 值与精确值的距离。

示例：交错调和级数 S₃ = 0.8333（误差 0.14），一级 Aitken 直接得 0.7（误差 0.0069），提升约 20 倍；莱布尼茨 4·S₃ = 3.4667，一级 Aitken 得 3.1667。

注意事项：Aitken 假设误差有 exp(−cn) 型或固定比率衰减结构，对单调慢收敛（如调和型尾部）改善有限；分母 Δ² 接近零时（序列已收敛）工具直接返回原值避免除零。

相关：Shanks 变换计算器是 Aitken 的迭代推广，可连续剥离多个误差指数项；不动点迭代与牛顿法都是 Aitken 加速的常见应用场景。