Aitken Δ² 加速计算器（Aitken Delta-Squared）
若一个序列的误差按固定比率衰减（线性收敛），相邻三项就藏着极限的信息——Aitken Δ² 变换用这三项解出并消去误差主项，一步把精度提升一到两个数量级。它是数值分析中最轻量、最常用的加速器。
原理：Aitken Δ² 加速对线性收敛序列 xₙ 用相邻三项构造 x* = x₃ − (Δx₂)²/Δ²x，其中 Δ 为前向差分；它把误差的主导项消去，对误差按固定比率衰减的序列效果显著。
步骤：① 选序列；② 输入起始下标 m；③ 对比原始部分和、一级与二级 Aitken 值与精确值的距离。
示例：交错调和级数 S₃ = 0.8333（误差 0.14），一级 Aitken 直接得 0.7（误差 0.0069），提升约 20 倍；莱布尼茨 4·S₃ = 3.4667，一级 Aitken 得 3.1667。
注意事项：Aitken 假设误差有 exp(−cn) 型或固定比率衰减结构，对单调慢收敛（如调和型尾部）改善有限；分母 Δ² 接近零时（序列已收敛）工具直接返回原值避免除零。
相关：Shanks 变换计算器是 Aitken 的迭代推广，可连续剥离多个误差指数项；不动点迭代与牛顿法都是 Aitken 加速的常见应用场景。
什么是Aitken Δ² 加速计算器？
Aitken Δ² 变换观察三个相邻项 x₁, x₂, x₃，假设误差按固定几何比率 q 衰减（xₙ − L ∝ qⁿ），由此反解出极限 L 的估计：x* = x₃ − (x₃ − x₂)²/((x₃ − x₂) − (x₂ − x₁))。
名字里的 Δ² 指二阶前向差分：分母正是 Δ²x = x₃ − 2x₂ + x₁。它度量误差衰减结构的强度——序列越「平」，Δ² 越小，外推越危险，工具在 Δ² 近零时直接返回原值。
对交错级数特别有效：交错调和级数 S₃ = 0.8333 离 ln 2 差 0.14，一次 Aitken 直接给 0.7，误差 0.0069——提升约 20 倍，相当于多算了十几项。
Aitken 外推：x* = x₃ − (Δx₂)²/Δ²x，其中 Δx₂ = x₃ − x₂、Δ²x = x₃ − 2x₂ + x₁
分母 Δ² 接近零（序列已收敛）时直接返回 x₃，避免除零。
如何使用Aitken Δ² 加速计算器
- 1
选择序列：altHarmonic（部分和趋于 ln 2）或 leibniz（4 倍莱布尼茨部分和趋于 π）。
- 2
输入起始下标 m，工具取 S_m, S_{m+1}, S_{m+2} 三项做一级 Aitken，再对一级输出序列做二级 Aitken。
- 3
对比原始部分和、一级与二级 Aitken 值与精确值的距离，看加速的层级效应。
计算示例
例 1交错调和级数 m = 3
S₃ = 1 − 1/2 + 1/3 = 5/6 ≈ 0.8333，离 ln 2 差 0.1402；一级 Aitken 得 0.7（差 0.0069），二级 Aitken 进一步降到 0.6932 附近——三级信息换来十余倍精度。
例 2莱布尼茨级数求 π
4·S₃ = 4 − 4/3 + 4/5 = 3.4667，离 π 差 0.325；一次 Aitken 得 95/30 = 3.1667（差 0.025），再次演示对交错级数的外推威力。
例 3几何部分和的精确复原
部分和 1, 1.5, 1.75, 1.875（公比 1/2 的几何误差）经一次 Aitken 直接得 2——误差模型恰好匹配时，外推是精确的。
注意事项
Aitken 假设误差有固定比率（指数型）衰减结构：对单调慢收敛的代数尾部（如 Σ1/k² 的 1/n 误差）改善有限，此时 Shanks 变换或欧拉变换更合适。
浮点实现中分母 Δ² 是两个大数的小差，序列非常接近极限时 Δ² 被舍入噪声淹没——工具在 |Δ²| < 10⁻¹⁴ 时返回原值而不是输出垃圾。
外推值可能越过极限（过冲）：对误差非单调的序列这是正常现象，二级 Aitken 有时反而更差，工程上应逐级检查误差再决定是否继续。
Aitken 是「点式」变换：一次只吃三项。想把整个序列一次性加速，用迭代版本（对加速结果再做 Aitken）即 Shanks 变换。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-04
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-10-04。
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