不动点迭代 x = g(x)
不动点迭代是最朴素的数值求根法：把 f(x)=0 改写成 x = g(x)，反复代入 xₙ₊₁ = g(xₙ)。收敛时极限点满足 x* = g(x*)——既是不动点也是原方程的根。能否收敛由 |g'(x*)| 决定。
把 f(x)=0 改写成 x = g(x) 后反复代入：xₙ₊₁ = g(xₙ)。若 |g\'(x*)| < 1 则局部收敛；不动点即原方程的根。
什么是不动点迭代计算器？
迭代 xₙ₊₁ = g(xₙ) 的几何图像是「折线舞步」：从 x₀ 画竖线到曲线 y = g(x)，再水平线到对角线 y = x，如此往复。
|g'| < 1 时折线收进「漏斗」趋于交点；|g'| > 1 时从交点溢出发散。
cos(x) 迭代的不动点约 0.739085，叫 Dottie 数——任何初值都会被吸进去，因为 |sin(x)| ≤ 1 在 [0,1] 区间恒小于 1。
巴比伦开方是二阶收敛的明星：g'(x*) = 0 意味着线性误差项消失，每迭代一次正确数字大约翻倍——这正是牛顿法（用切线信息）的本质优势。
同一方程 f(x) = 0 可以改写出无穷多种 g，收敛与否、快慢如何全看导数。
不动点定理（压缩版）：若 |g'(x)| ≤ L < 1 在区间上成立，则迭代收敛到唯一不动点，误差 |xₙ − x*| ≤ Lⁿ/(1−L)·|x₁ − x₀|
巴比伦开方 g(x) = (x + a/x)/2 在不动点处 g' = 0——二阶收敛（牛顿法的特例），每步有效数字翻倍。
如何使用不动点迭代计算器
- 1
选择迭代函数 g(x)：cos(x)、巴比伦 √10、巴比伦 √2 或 e^(−x)
- 2
输入初值 x0 与迭代次数
- 3
观察序列是否收敛到不动点
- 4
用 |g'(x*)| 判定收敛与估计速率：小于 1 收敛，越接近 0 越快
计算示例
例 1Dottie 数
g(x) = cos(x)，x₀ = 1 迭代：0.5403, 0.8576, 0.6543, 0.7935, 0.7014, 0.7640, … 12 步后稳定在 0.7390851332 任何初值都收敛：|g'(x)| = |sin x| ≤ 0.84（全局压缩）
例 2巴比伦求 √10
g(x) = (x + 10/x)/2，x₀ = 3 3 → 3.16667 → 3.16228 → 3.16227766（已 8 位有效） 二阶收敛：误差平方级递减，3 步达 10 位精度 对比线性收敛的 cos 迭代：12 步才 6 位——收敛阶的差距
注意事项
同一 f(x)=0 有多种 g 写法：x = x + f(x) 通常发散（g' = 1 + f'），x = x − f(x)/f'(x) 是牛顿法（g'(x*) = 0）
初值必须落在不动点的吸引域内；发散时换初值或改写 g
|g'(x*)| 越接近 1 收敛越慢（Dottie 数约 0.67）
e^(−x) 迭代在不动点 0.567143（Omega 常数）处 |g'| = 0.567，线性收敛
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-14
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Calcton. 不动点迭代计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/fixed-point-iteration, 2026-09-14.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-14。
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